随机过程：1. 朗之万方程仿真
朗之万方程
朗之万方程描述悬浮在流体中的粒子所做的布朗运动。一个粒子在流体中时，会受到流体的阻力，并且阻力大小与粒子速度成正比。在这个正比关系的基础上，这个力还会受到流体带来的“随机力”。这个关系可以由牛顿第二定理和随机过程建立：
$$
\underbrace{m \frac{d^2 x}{dt^2}}_{\text{粒子受力}} = \underbrace{- \gamma \frac{d x}{dt}}_{\text{与速度方向相反的阻力}} + \underbrace{\sqrt{2\gamma k_B T}\mathbf{R}(t)}_{\text{随机力}}
$$
其中$\gamma$可以理解为阻力系数，$k_B$为玻尔兹曼常数，$T$为温度，$\mathbf{R}(t)$为随机过程，通常为高斯噪声。
$\mathbf{R}(t)$满足：
- 期望为 0:$⟨\mathbf{R}(t)⟩ = 0$
- 不同时间$t$的协方差 0:$⟨\mathbf{R}(t)\mathbf{R}(t')⟩ = \delta(t-t')$。
过阻尼朗之万方程
假如质量极小$m\rightarrow 0 $，阻力系数$\gamma$很大，那么这个粒子的运动就被称为过阻尼运动。过阻尼运动有以下特点：加速/减速过程极快（可以理解为速度直接与力相关，没有加速度的概念了）。这时：
$$
0 \approx - \gamma \frac{d x}{dt} + \sqrt{2\gamma k_B T}\mathbf{R}(t)
$$
假如粒子在流体中像一个“弹簧”固定在某个位置，那么粒子除了随机力，还会受到弹性力：
$$
\gamma \frac{d x}{dt} = - \nabla_x E_p + \sqrt{2\gamma k_B T}\mathbf{R}(t) \\
= - kx + \sqrt{2\gamma k_B T}\mathbf{R}(t)
$$
其中$k$为弹簧常数。
概率分布
随机微分方程可以使用 Fokker-Planck 方程来建立$p(x,t)$的概率分布。
具体来说，对于一般的朗之万方程：
$$
\frac{dx}{dt} = A(x) + B(x)\mathbf{R}(t)
$$
Fokker-Planck 方程为：
$$
\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial x} \left( A(x) p(x,t) \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}( B(x)^2 p(x,t)) = - \nabla \cdot \mathbf{J}
$$
FP 方程可以理解为概率的连续性方程。
当$\nabla \cdot \mathbf{J} = 0$时，代表此时概率分布平衡，处于稳态，因此可以通过：
$$
- \frac{\partial}{\partial x} \left( A(x) p(x,t) \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}( B(x)^2 p(x,t)) = 0
$$
来求解稳态$p(x,t)$。
可视化仿真
我们将上面的方程离散化：
$$
\gamma(x_{t+1} - x_{t}) = -kx_t \Delta t + \sqrt{2\gamma k_B T}\Delta t \mathcal{N}(0,1) \\
\Rightarrow x_{t+1} = x_t - \frac{k}{\gamma}x_t\Delta t + \sqrt{\frac{2 k_B T}{\gamma}}\Delta t \mathcal{N}(0,1)
$$
各态历经假说：
简单来说，对于一个处于平衡态的系统，观察一个粒子在足够长的时间内经历的所有状态（时间平均），等效于在某一个瞬间观察一个由大量相同粒子组成的系综的所有可能状态（系综平均）。
